Mittwoch, 22. April 2015

Formen(l)n des Nichtdenkens (Fortsetzung): Primzahlen und Mücken




Der Physiker und Nobelpreisträger Eugene Wigner schrieb 1960 einen vielzitierten Ausatz über die „unverständliche Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“. Er beschäftigte sich darin mit der Frage, wie es überhaupt dazu komme, dass sich mathematische Gesetzmässigkeiten auf die Natur anwenden liessen, wo es sich bei Zahlen und Naturphänomenen doch um zwei völlig verschiedene Reiche und Lehrämter handle: das Abstrakte und Ewige, sowie das Konkrete und Vergängliche. Die Frage hat die Naturwissenschafter immer wieder beschäftigt, und sie beschäftigt sie weiterhin. Man muss allerdings auch gleich anfügen, dass man beim Transfer von mathematischen Denkweisen in die Empirie vorsichtig sein sollte. Der Fehlschluss droht auch hier. Hier ein Beispiel. Der erste Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen stammt von Euklid. Im Wesentlichen verläuft er so: Wie viele Primzahlen ich auch habe, es gibt stets noch eine weitere, also unendlich viele. Eine Leserbriefschreiberin aus Bayern schrieb dazu Folgendes: "Ich sitze hier am Ammersee inmitten einer Heerschar von Mücken. So viele ich auch erschlage, es gibt immer noch eine weitere, kann ich daher schließen ...?" Quod non est demonstrandum.

Mittwoch, 1. April 2015

Und der Alte würfelt doch




Nichtlokalität: eine physikalische Beunruhigung

Theorien sind Ideen-Nester. Und sie enthalten oft Kuckuckseier, Konsequenzen also, an die der Nestbauer anfänglich nicht gedacht hat und die – ausgebrütet – ihm nun fremd vorkommen, als ob sie nicht von ihm stammten. Nachdem Isaac Newton seine Gravitationstheorie aufgestellt hatte, entdeckte er plötzlich, dass sie ein Problem aufwarf, das ihm absurd erschien: die sogenannte Fernwirkung, die Tatsache also, dass ein physikalischer Körper über grosse Distanzen hinweg einen andern Körper anziehen kann. Wie soll das stattfinden?

Newtons Problem lässt sich in moderner Terminologie als das sogenannte Problem der Nichtlokalität formulieren. Die Idee der Nichtlokalität kollidiert mit unserer intuitiven Vorstellung der Wechselwirkung zweier Körper. Gewöhnlich denken wir uns diese Wechselwirkung als eine unmittelbare Berührung, zum Beispiel von Billardkugeln, die sich stossen: kausale lokale Aktionen. Wirkt ein Körper über eine Distanz auf einen andern, dann denken wir uns ein Medium, in dem solche lokalen Aktionen fortgesetzt stattfinden. Formelhaft: Nichtlokale Wirkungen setzen sich zusammen aus lokalen. Und genau das zieht die Quantenphysik in Zweifel. Ihr Theorienest enthält ein ähnliches Ei wie jenes von Newton, eine neue Art von Nichtlokalität, die sich nicht aus lauter lokalen zusammensetzt. Man spricht von „nichtlokaler Korrelation“.

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Ein Gedankenexperiment kann uns das Problem näher bringen. Wir verwenden dazu das Standardpaar der Quantentheoretiker: Alice und Bob. Nicolas Gisin von der Universität Genf, ein führender Physiker auf dem Gebiet der Quanteninformatik, hat in seinem eben publizierten Buch „Der unbegreifliche Zufall“ ein Spielchen ausgetüftelt. Alice und Bob generieren für sich an je identischen Kästen Zufallsereignisse. Sie betätigen einen Hebel, der nach links oder rechts gelegt werden kann. Immer wenn sie eine Hebelschaltung vornehmen, erscheint dank eines Zufallsgeneratores auf einem Display entweder 0 oder 1. Alice und Bob schalten alle Minuten synchron ihren Hebel und notieren sich Lage und Zahl; also etwa „links/1“, „rechts/0“ usw. Sie führen isoliert – ohne „Fernwirkung“ -  das Spiel einen halben Tag lang durch. Am Ende vergleichen sie ihre Listen und berechnen ihre Erfolgsquote. Nach einem Punkteschlüssel erhalten sie bei gewissen Kombinationen von Schaltung und Zahl einen Punkt, bei andern nicht. Die Erfolgsquote ergibt sich als Mittelwert aus der Summe aller Punkte dividiert durch die Anzahl der Hebelschaltungen in einem halben Tag. Er beträgt maximal 1 (jede Hebelschaltung ein Punkt).

Die Details des Spiels brauchen uns nicht zu interessieren, wichtig ist nur die Spielart. Alice und Bob sind ein „separierbares“ Paar, wie die Physiker sagen. Sie agieren völlig unabhängig voneinander, zwischen ihnen werden keine Informationen ausgetauscht. Die Hebelschaltungen wie auch die Zahlen 0 und 1 sind lokale Zufallsereignisse. Die Pointe liegt nun darin, dass Alice und Bob, wie lange sie auch spielen und welche Strategien sie für sich zurechtlegen, nie über eine Erfolgsquote von ¾  hinauskommen. Das ist sinngemäss die Kernaussage einer lange Zeit für marginal gehaltenen theoretischen Entdeckung, die 50 Jahre zurückliegt: der Ungleichung des nordirischen Physikers John Stewart Bell. Sie  entpuppt sich heute als von unerwarteter Virulenz.

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Warum? Nehmen wir einmal an, eine Quanten-Alice und ein Quanten-Bob würden mit demselben Spiel eine bessere Erfolgsquote erzielen. Unmöglich! sagt der klassische Physiker: Das geht nicht mit rechten Dingen zu; oder bestimmte uns noch nicht bekannte „verborgene Parameter“ sind mit im Spiel. Der Quantentheoretiker sieht das anders: Offenbar sind die Zufallsereignisse bei Quanten-Alice und Quanten-Bob auf eine Weise korreliert, für die die klassische Physik keine Erklärung kennt: sie sind verschränkt. Tatsächlich sagt die Ungleichung von Bell: Verschränkte Quantenprozesse lassen sich daran erkennen, dass sie die Ungleichung verletzen, also eine höhere Erfolgsquote als die klassische zulassen.

Gibt es solche Prozesse? Ja, immer mehr. 1982 wiesen Alain Aspect und sein Team Verletzung der Ungleichung an Photonenpaaren nach. Seither ist der Ehrgeiz der Physiker angestachelt, auf ingeniöse Weise Systeme zu bauen, welche Prozesse mit höherer Gewinnquote als der klassischen ermöglichen. Physikalischer ausgedrückt heisst das: Die Physiker kombinieren zwei (oder mehr) Quantenobjekte – etwa Photonen, Elektronen oder auch Atome – zu einem neuen Ganzen mit seltsamen nichtklassischen Eigenarten.

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Die Geschichte der Quantenverschränkung ähnelt der Geschichte von Newtons Gravitationskraft. Einstein erkannte schnell die „spukhaften“ Folgen der neuen Theorie, und er versuchte mit den Kollegen Boris Podolski und Nathan Rosen 1935 anhand eines Gedankenexperiments zu demonstrieren, dass die quantenphysikalische Beschreibung der klassischen widerspricht und deshalb nicht vollständig sein kann. Im gleichen Jahr erkannte Erwin Schrödinger, dass dies an einer neuartigen Verknüpfung von Zuständen liegt, die er „Verschränkung“ nannte.

In der Quantentheorie werden Zustände durch Wellenfunktionen repräsentiert. Teilchenzustände können sich also wie Wellen überlagern. Wir sagen nicht: Da ist ein Elektron im Zustand 1 und dort ein Elektron im Zustand 2, zusammen bilden sie ein Paar. Wir sagen: Hier ist ein Paar in seinem überlagerten Gesamt­zustand. Punkt. Kurioserweise stellt sich dann zum Beispiel heraus, dass eine Messung des Abstands der Elektronen – eine Zustandsgrösse des Paares – exakt bestimmbar ist, nicht aber die Positionen der einzelnen Elektronen. Bei normalen klassischen Objekten erscheint das absurd. Angenommen, ich und der Mond bildeten ein verschränktes Paar. Dann liesse sich unser Abstand – ein Gesamtzustand - präzise bestimmen, nicht aber unsere Einzelpositionen. Quantentheoretisch gesprochen, wäre ich an vielen möglichen Orten zugleich. Erst eine „Messung“ an mir zeigte, wo ich bin: zum Beispiel in San Francisco, 9300 km entfernt von meiner mittleren Position in Bern. Dadurch aber wäre zugleich die Position des Mondes bestimmt: 9300 km entfernt von seiner mittleren Position – und zwar ohne kausale Verbindung und Messung an ihm! Verschränkte Quantenobjekte zeigen eine solche bizarre Eigenschaft. Wären also die Zufallsgeneratoren in den Kästen von Quanten-Alice und Quanten-Bob verschränkt, dann wüsste Alice, wenn sie zum Beispiel an ihrem Kasten das Resultat 0 beobachtet, dass auch Bobs Kasten dieses Resultat zeigt. Mit solchen verschränkten Zufällen lassen sich in Gisins Spiel Erfolgsquoten höher als ¾ erzielen. Klassisch unbegreifbar! Gisin und sein Team haben 1997 zwei solche „Kästen“ mit verschränkten Photonen gebaut, ausserhalb des Labors, zwischen Bernex und Bellevue im Kanton Genf, über 10km voneinander entfernt. Inzwischen sind quantenverschränkte Systeme mit einer Entfernung von fast 150km bekannt.

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Der tiefere Grund für dieses seltsame Verhalten liegt darin, dass die Quantentheorie mit Wahrscheinlichkeiten rechnet, und Wahrscheinlichkeiten auf dem Zufall basieren. Genauer gesagt, legt die Quantentheorie eine neue Interpretation des Zufalls nahe. Die klassische Interpretation ist subjektiv: Etwas ist zufällig, weil ich nicht genügend weiss. Die Vorstellung dahinter: In der Natur ist „im Prinzip“ alles durch Gesetze und Anfangsbedingungen – lokale Aktionen - geregelt. Wenn ich mich entscheide, auf dem Velo in die Stadt zu fahren, und mir nun „zufällig“ ein Fussgänger vor die Räder läuft, dann ist dies ein „im Prinzip“ behebbarer Zufall; ein Beobachter, der den Weltzustand vor dem Zusammenprall kennen würde, könnte im Idealfall eine lückenlose Kausalkette von lokalen Ereignissen – beginnend bei meinem Entscheid, bis zum Zusammenprall mit dem Fussgänger - rekonstruieren. In der klassischen Physik regiert kurz gesagt das Ideal eines gottgleichen Beobachters. Nichtlokale Korrelationen schmuggeln dagegen eine andere Art von Zufall in die Physik: den Zufall als Naturprinzip. Der allwissende Oberbeobachter dankt ab. Selbst bei maximaler Quantenkenntnis – also einer Wellenfunktion, die den Weltzustand vor der Kollision repräsentiert (plus Hamiltonoperator ihrer Entwicklung) - könnte er den Zusammenstoss nicht mit völliger Gewissheit voraussagen, weil die Ungewissheit quasi auf Mikroniveau in die Natur selbst eingebaut ist. Einsteins Gott – der „Alte“ - würfelt.

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Nicht dass die Nichtlokalität allgemein akzeptiert, geschweige denn völlig verstanden wäre. Im Gegenteil: sie spaltet die Physikergemeinschaft, und zwar in einer schon fast glaubensartigen Überzeugungstiefe. „Quanundrum“ – „Quantenrätsel“ - titelte im Juni 2014 die Zeitschrift „Nature“ in einem Editorial. Nichtsdestotrotz beflügelt die Idee der Nichtlokalität die Erforschung neuer technischer Applikationen: ultraschnelle Rechner, Teleportation oder nicht knackbare Verschlüsselung von Nachrichten. Bereits kursiert das Wort von der „zweiten Quantenrevolution“. Wohin sie führt, weiss niemand. Eine kleine Lehre lässt sich allerdings schon jetzt ziehen. Einmal mehr zeigt sich, dass kreative Schübe nicht mit Monsterprojekten herbeizuzwingen sind. Das Neue: das sind oft Kuckuckseier in den Theorie-Nestern. Freundet man sich mit ihnen an, entpuppen sie sich als verborgene Triebfedern des Fortschritts. Anders gesagt: Nichts ist zu absurd, um wahr zu sein.